Python -da raqamli integratsiya dasturini qanday qilish kerak: 10 qadam

2024 Muallif: John Day | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-30 13:27

Bu raqamli integratsiya algoritmi yordamida aniq integrallarni baholaydigan dasturni yaratish va ishga tushirish bo'yicha qo'llanma. Men qadamlarni 3 qismga ajratdim: dasturni tuzish algoritmini tushunish, Python dasturlash tili yordamida dasturni kodlash va dasturni ishga tushirish. Bu qo'llanma aniq integrallarni baholash uchun kalkulyatorni tezda tuzishi kerak bo'lgan yoki kattaroq dasturda foydalanish uchun algoritmga muhtoj bo'lganlar uchun mo'ljallangan. Hisoblash bo'yicha asosiy bilimlar kutilmoqda, lekin tegishli matematik ma'lumotlar qayta ko'rib chiqiladi. Dasturlash haqida bilim kutilmaydi, lekin foydalidir, chunki men dasturlashning aslida qanday ishlashini qisqacha tasvirlab beraman.

Sizga nima kerak bo'ladi:

Internetga kirish imkoniga ega shaxsiy kompyuter

1 -qadam: Algoritmni tushunish 1 -qism: Aniq integral va undan foydalanish

O'ylaymanki, siz asosiy hisoblar kontekstida integral nima ekanligini ozgina bilasiz. Integrallar muhim, chunki ular cheksiz kichik uzunlikka ko'paytirilgan qiymatlar qatorini yig'ishga imkon beradi; Bu moliya, sonlar nazariyasi, fizika, kimyo va boshqa ko'plab sohalarda foydali. Biroq, bu dastur sizga egri ostidagi maydonni cheklangan oraliqda hisoblash imkonini beradi, yoki boshqa so'z bilan aytganda, u lotinlarga qarshi vositalarni baholamaydi-buning uchun ancha kuchli algoritm kerak. Bu algoritm, agar siz boshqa biror narsaga nisbatan kattaroq dasturda aniq integralni baholashingiz kerak bo'lsa yoki qo'lingiz bilan bajarilgan aniq integrallar uchun javobingizni tekshirishni istasangiz foydali bo'ladi.

Asosiy aniq integral funktsiya bilan belgilangan egri ostidagi maydonni ifodalaydi, masalan. f (x). Aniq integral uchun biz ikkita nuqta orasidagi maydonni qidiramiz (mos ravishda a va b bilan belgilanadi). Rasmda, men aytmoqchi bo'lgan turkuaz mintaqa va buni aniqlash uchun tenglama ham o'sha mintaqada ko'rsatilgan. Rasmda ko'rsatilgan funktsiya o'zboshimchalik bilan.

2 -qadam: Algoritmni tushunish 2 -qism: Raqamli yaqinlashtirish

Kompyuterga ixtiyoriy funktsiya ostidagi maydonni hisoblash uchun keng ko'lamli ko'rsatmalar kerak bo'ladi, shuning uchun sizga tanish bo'lishi mumkin bo'lgan analitik usullarning foydasi yo'q, chunki ular juda aniq. Taxminan, kompyuter ishlay oladigan integrallarni hisoblashning bir usuli, qiziqish maydonini foydalanuvchi tomonidan teng kenglik va o'zgarmaydigan balandlikdagi to'rtburchaklar bilan to'ldirish, so'ngra to'rtburchakning barcha maydonlarini yig'ish orqali amalga oshiriladi. To'rtburchaklarning qattiq xususiyatlari umumiy maydonning bir qismini tegmagan holda qoldiradi, shuning uchun bu taxminiy deb hisoblanadi; ammo, (a va b) chegaralari o'rtasida qanchalik ko'p to'rtburchaklar yasashingiz mumkin bo'lsa, tegmagan hududlar siyraklashib ketgani uchun taxmin aniqroq bo'ladi. Kompyuter vazifani bajarayotgani uchun, siz kerakli mintaqadagi to'rtburchaklar sonini juda katta qilib belgilashingiz mumkin, bu taxminni juda aniq qiladi. Qo'llab -quvvatlovchi rasmda, belgilangan maydonda har bir to'rtburchakning kengligi teng ekanligini tasavvur qiling. Men ularni Microsoft Paint -da bir xil kenglikda qilish uchun qo'limdan kelganini qildim, lekin eng yaxshi ishni qilmadim.

3 -qadam: Algoritmni tushunish 3 -qism: O'rta nuqta qoidasi

Bu qoida to'rtburchaklar qanday yasalganini va taxminiy ishlatilishini bildiradi. "N" to'rtburchaklardagi har bir to'rtburchak teng kenglikka ega bo'lishi kerak, x, lekin har bir to'rtinchi to'rtburchaklar bir xil bo'lishi mumkin emas: o'zgaruvchan omil - bu balandlik, bu funktsiya ma'lum bir nuqtada baholanadi. O'rta nuqta qoidasi o'z nomini har bir to'rtburchakning balandligini f (x_n) deb baholaganingizdan oladi, bu erda "x_n"-to'rtburchakning chap yoki o'ng tomonida joylashgan har bir to'rtburchakning tegishli markaziy nuqtasi. O'rta nuqtadan foydalanish o'rtacha yoki o'ngga yoki chapga qaraganda taxminni aniqroq qiladigan o'rtacha ko'rsatkichga o'xshaydi. Bu qadamni qo'llab -quvvatlovchi rasmda o'rta nuqta qoidasi matematik tarzda qanday aniqlanganligi umumlashtirilgan.

4 -qadam: Dastur yaratish 1 -qism: Python kompilyatori/muharririni yuklab olish

Endi siz amalga oshirilishi kerak bo'lgan algoritmni tushunganingizdan so'ng, siz uchun hisobni bajarish uchun kompyuterni olish masalasi. Kompyuterga nima qilish kerakligini aytib berishning birinchi qadami - buning uchun vositalarni olish. Bu algoritmni har qanday tilda kodlash mumkin; soddaligi uchun bu dastur Python tilida kodlangan bo'ladi. Kompyuteringizga Python bilan operatsiyalarni bajarishni buyurish uchun sizga shu tilda yozilgan ko'rsatmalarni oladigan muharrir kerak bo'ladi, keyin u sizning kompyuteringiz tushunadigan mashina tiliga yig'iladi va siz aytgan vazifalarni bajaradi. Hozirgi zamonda, odatda, muharrir va kompilyator birlashtirilgan, lekin bu har doim ham shunday emas. Siz o'zingizga qulay bo'lgan har qanday tahrirlovchidan/kompilyatordan foydalanishingiz mumkin, lekin men sizga Python: Canopy uchun shaxsiy sevimlini qanday olishimni ko'rsataman. Agar sizda allaqachon muharrir/kompilyator bo'lsa, bu bosqichlarni o'tkazib yuborishingiz mumkin.

1. Https://www.enthought.com/product/canopy/ saytiga o'ting.
2. Yuklab olish kanopini bosing

3. Operatsion tizimingizga mos keladigan yuklab olish tugmasini bosing

   Yuklab olish avtomatik ravishda boshlanadi

4. Ijro faylini ishga tushirgandan so'ng, instilatsiya ko'rsatmalariga amal qiling
5. Dasturni ishga tushiring
6. Dasturning asosiy menyusida "Tahrirlash" ni bosing
7. Ekranning o'rtasida "yangi fayl yaratish" ni bosing

Shu nuqtadan boshlab siz matnni qayta ishlashning asosiy hujjatiga o'xshash kursorli bo'sh oq oynani ko'rishingiz kerak. Siz aniq integrallarni echish uchun raqamli integratsiya algoritmini kodlashni boshlashga tayyormiz. Keyingi bosqichlarda siz nusxa ko'chiradigan kod parchasi va umuman dastur uchun nima qilishini tushuntirish bo'ladi.

5 -qadam: Dastur yaratish 2 -qism: Funktsiyalarni import qilish va o'zgaruvchilarni aniqlash

Rasmdagi kodni nusxa ko'chiring.

Har qanday dastur uchun siz o'zingizni kodlashingiz mumkin, o'zgaruvchilar bo'ladi. O'zgaruvchi - bu operatsiya qilinadigan va o'zgarishi mumkin bo'lgan qiymatga berilgan ism. Ko'pgina dasturlash tillarida (agar hammasi bo'lmasa), dasturga o'zgartirishlar kiritishdan oldin, siz o'zgaruvchini ishga tushirishingiz kerak. Bu dasturda men "N", "a" va "b" o'zgaruvchilarni nomladim. Bu qiymatlar takrorlanishlar sonini (AKA to'rtburchaklar soni), pastki chegarani va yuqori chegarani ifodalaydi. Siz xohlagan narsaga nom berishingiz mumkin, lekin "Algoritmni tushunish 3 -qism: O'rta nuqta qoidasi" da keltirilgan formulalarga mos kelish uchun ularni bir xil saqlash yaxshidir. E'tibor bering, ular faqat ma'lum bir qiymatga o'rnatilmagan. Buning sababi shundaki, ular dasturni ishga tushirganda, dastur foydalanuvchisi uning qiymatini aniqlay oladi. Kirish buyrug'idan keyin tirnoqdagi matn ko'rsatiladi, siz dasturni ishga tushirganingizda, qanday qiymatni kiritish kerakligini aytadi. Bundan tashqari, "int" va "float" kiritilishidan oldin ishlatilganligini sezasiz. Bu atamalar kompyuterga bu qiymat qanday turdagi o'zgaruvchi bo'lishini aytadi. "Int" - bu butun son, "float" - bu o'zgaruvchan nuqta (ya'ni kasr). Bularning nima uchun bunday nomlanishi aniq bo'lishi kerak.

"#" Dan keyin mavjud bo'lgan har qanday matn - bu dasturchiga kodni gumanistik tarzda kuzatishga imkon beradigan izoh; Men o'z kodimga siz sharhlar yozgansiz, lekin siz nusxa ko'chirasiz, lekin sizga yordam beradigan sharhlarni qo'shishingiz mumkin. Dastur buyruq sifatida "#" belgisi bilan hech narsani o'qimaydi.

"Matematik importdan *" deb o'qiladigan kod qismi dasturga matematik funktsiyalar majmuasini import qilishni aytadi, ularni o'zingiz dasturlamasdan ishlatishingiz mumkin. "*" Faqat "hamma" degan ma'noni anglatadi. Kodning bu qismini o'qing: matematik kutubxonadan barcha funktsiyalarni import qiling. Bu sizga sinus, kosinus, log, exp va boshqalar kabi matematik funktsiyalarni ishlatishga imkon beradi. Bu funksiya matematik tarzda kod ichida birlashtirilishi mumkin.

6 -qadam: Dastur yaratish 3 -qism: Integratsiya funktsiyasini yaratish

Oldingi kod ostidagi rasmdagi kodni nusxa ko'chiring.

OGOHLANTIRISH: Bu bo'lim zich va men chalkash bo'lishi mumkin bo'lgan ba'zi narsalarni tozalashni xohlayman. Dasturlash haqida gapirganda, "funktsiya" so'zi tez -tez paydo bo'ladi. Bu atama matematika haqida gapirganda ham paydo bo'ladi. Shunday qilib, shu vaqtdan boshlab, men dasturlash ma'nosida funksiya haqida gapirganda, "Python funktsiyasi", matematik funktsiya haqida gapirganda "matematik funktsiya" deb aytaman. Bir vaqtlar biz Python funktsiyasidan matematik funktsiyani tasvirlash uchun foydalanamiz.

Keyingi kod parchasi - bu dasturning yuragi. Bu erda o'rta nuqta qoidasi yordamida raqamli integratsiya algoritmini bajaradigan Python funktsiyasi aniqlangan. "def Integrate (N, a, b)" quyidagicha o'qiladi: "N," "a" va "b" o'zgaruvchilarni qabul qiladigan va egri ostidagi maydonni qaytaradigan "Integratsiya" funktsiyasini belgilang (matematik funktsiya) Python "Integrate" funktsiyasida ham aniqlangan. Siz kodlashni amalga oshirganingizda, bu Python funktsiyasini xohlagan narsaga qo'ng'iroq qilishingiz mumkin, lekin uni integratsiya deb atash mantiqan to'g'ri keladi, chunki bu haqiqatan ham matematik funktsiyani birlashtirgan funktsiya.

Shu o'rinda Python kod bloklarini qanday ajratishi haqida izoh berishga arziydi. Kod bloki - bu ma'lum bir vazifani bajaradigan butun bo'lim. Turli xil dasturlash tillarida bu "bloklarni" ajratish uchun maxsus usullar bo'ladi. Python uchun blok chiziqlar bilan ajralib turadi: har bir vazifani bajaruvchi qismning o'z chuqurchasi bor va boshqa kiruvchi bloklar ichida ham kiruvchi bloklar bo'lishi mumkin. Bu vazifalar ichidagi vazifalarni ifodalaydi va asosan kodni bajarish tartibini bildiradi. Belgilangan Python "Integratsiya" funktsiyasiga kelsak, bu funktsiya ichidagi hamma narsa bitta blokdan iborat bo'lib, shu vazifada bajariladigan vazifalarni ajratib turadi. Bu Python funktsiyasida o'z vazifalarini bajaradigan chiziqli qismlar mavjud. Bu quyidagicha: buyruq (vazifa) qo'yiladi, buyruqdan keyin yo'g'on nuqta qo'yiladi va buyruq nima qilsa, uning ostiga chiziq qo'yiladi.

Python "integratsiya" funktsiyasini aniqlagandan so'ng, siz f (x) deb nomlangan boshqa Python funktsiyasini aniqlaysiz. Bu birlashtiriladigan matematik funktsiyani ifodalaydi. Siz kiritmoqchi bo'lgan har bir matematik funktsiya uchun siz uni o'zgartirish uchun ushbu dastur satriga o'tishingiz kerak bo'ladi (dastur ishga tushganda aniqlanadigan o'zgaruvchilardan farqli o'laroq). Har bir Python funktsiyasining qaytish qiymati bo'ladi, bu qiymatni tashlaganingizda funktsiyani qaytaradi. Bunday holda, "x" qiymati kiritiladi va bu "x" atamasi siz tashlagan narsaning qiymatini oladi-bu vaqtinchalik qiymat.

Keyin, loop uchun ushbu qo'llanmaning "Algoritmni tushunish" bo'limidagi formulalarda aniqlangan yig'indining vazifasini bajaradi. Bu yig'ma yana ikkita o'zgaruvchini talab qiladi, ulardan biri Python "Integrate" funktsiyasining qaytish qiymati bo'lib xizmat qiladi. For-loopdan oldin men bu o'zgaruvchilarni "qiymat" va "qiymat2" deb belgilaganman. for-loopning vazifasi-belgilangan o'zgaruvchining qiymatlari oralig'ini takrorlash, uni loop uchun buyruq ichida qulay tarzda aniqlash mumkin; bu holda, bu o'zgaruvchi "n" dir. Takrorlanish sodir bo'ladigan diapazon 1 dan N+1 gacha. Shuni e'tiborga olish kerakki, yuqorida aytilgan formulalarda aniqlangan summa faqat 1 dan N gacha o'zgaradi. Biz buni shunday ta'riflaymiz, chunki Python tili har bir takrorlanuvchi qiymatni noldan boshlab hisoblaydi, shuning uchun biz qiymatlar diapazonini o'z xohishimizga mos ravishda o'zgartirishimiz kerak. diapazon. For-loop keyin to'rtburchakning barcha balandliklarini yig'ishga imkon beradi va bu qiymatni men "qiymat" deb nomlangan o'zgaruvchiga saqlaydi. Bu kod ko'rinishida ko'rinadi: qiymati += f (a +((n- (1/2))*((b-a)/N))).

U erdan, kodning keyingi qismi "value2" deb nomlangan o'zgaruvchidan foydalanadi, so'ngra har bir to'rtburchakning balandligi yig'indisi har bir to'rtburchakning standart kengligiga ko'paytiriladi-bu bizning oxirgi javobimiz. bizning dasturimiz tomonidan ko'rsatiladi va shuning uchun "Integrate" Python funktsiyasining qaytish qiymati.

7 -qadam: Dastur yaratish 4 -qism: Javobni ko'rsatish

Oldingi kod ostidagi rasmdagi kodni nusxa ko'chiring.

Endi javobni "Integrate" Python funktsiyasi orqali olish mumkin, biz uni ko'rsatishni xohlaymiz. Bu faqat foydalanuvchi kiritgan qiymatlarni ("N", "a" va "b") "Integrate" Python funktsiyasiga kiritish va uni ekranda chop etish. Bu buyruq 21 -qatorda ko'rsatilgan va bu bosqichni yakunlash uchun sizga kerak bo'lgan hamma narsa. 19 va 20 -satrlardagi kod butun dasturning chiqishini "chiroyli" qilish uchun mavjud. "chop etish (" …………………… ")" dasturning kirish qismini chiqish qismidan ajratadi va "chop etish (" bu sizning javobingiz: ")" bu javob beradigan belgidir. matn qatoridan keyin chop etiladi.

8 -qadam: Dasturni ishga tushirish 1 -qism: Dasturni avvalgidek ishlatish

Agar siz Canopy -dan foydalanmasangiz, demak, sizga bu bosqichni bajarishning hojati yo'q va dasturni ishga tushirish uchun turli protseduralar talab qilinishi mumkin. Canopy -da, dasturni ishga tushirishdan oldin, uni saqlashingiz kerak bo'ladi. Python dasturining fayl turi.py fayli bo'lib, u avtomatik tarzda saqlanadi. Fayl saqlanadigan joyni tanlang, shunda siz dasturni ishga tushirasiz.

Dasturni ishga tushirish:

1. Fayl nomi ko'rsatiladigan asboblar panelida joylashgan "ijro etish tugmasi" ga o'xshash yashil tugmani bosing (rasmga qarang).
2. Keyin dastur muharrirning pastki ekranida ishlaydi, u Canopy ma'lumotlarni tahlil qilish muhiti deb nomlanadi. Agar siz ko'rsatmalarni men yozgandek nusxa ko'chirgan bo'lsangiz, Canopy ma'lumotlarini tahlil qilish muhitining pastki qismida: "Siz necha marta yig'ishni xohlayotganingizni kiriting (ko'proq marta = aniqroq):". (rasmga qarang)
3. Yinelemani necha marta bajarishni xohlaysiz, ya'ni 10000 (o'z maydoningizga nechta to'rtburchaklar kirgizmoqchisiz) qiymatini kiriting va Enter tugmasini bosing.
4. Ko'proq ko'rsatmalar 5 -bosqichda siz dasturga kiritgan tanish yo'riqnomalar bo'lishi kerak bo'lgan iboralar bilan birga paydo bo'ladi. Yuqoridagi 3 -sonda bo'lgani kabi ularni to'g'ri to'ldiring.
5. Integralni baholash kerak va natija paydo bo'lishi kerak.

Agar siz dasturni oldingi rasmlarda ko'rsatilgandek kodlagan bo'lsangiz, siz ba'zi chegaralarda f (x) = x^2 ni birlashtirgansiz. X^2 ning ajralmas qismini qo'l bilan baholash oson, shuning uchun dastur qo'lda aniqlangan to'g'ri analitik qiymatga juda yaqin javob berganiga ishonch hosil qilishingiz kerak. Men dasturni N = 10000, a = 0 va b = 10 qiymatlari bilan ishga tushirganimda 333.33333249999964 javobini olaman. To'g'ri analitik javob - 333.333. Bu nihoyatda aniq va tezdir. Siz asosan x o'qida 0 dan 10 gacha bo'lgan 10 000 ta to'rtburchaklar siqib chiqardingiz va ularni x^2 egri ostidagi maydonni taxmin qilish uchun ishlatdingiz!

9 -qadam: Dasturni ishga tushirish 2 -qism: Boshqa matematik funktsiyalarni birlashtirish

Oldingi bosqichda, agar siz sodiqlik bilan kuzatayotgan bo'lsangiz, siz f (x) = x^2 ni birlashtirgansiz. Bu dasturni birlashtira oladigan yagona matematik funktsiya emas. Eslatib o'tamiz, 5 -qadamdan Python funktsiyalarining matematik kutubxonalar qatorini dasturga import qildingiz. Bu sizga birlashtirilishi mumkin bo'lgan murakkabroq matematik funktsiyalarni ishlatishga imkon beradi. Keling, bitta zarba beraylik. Albatta, siz xohlagan funktsiyadan foydalanishingiz mumkin, lekin men ma'lum bir diapazonga integratsiyalashganda ma'lum bo'lgan ma'lum matematik funktsiyani birlashtirib, ushbu kodning to'g'riligini ko'rsataman. Bu funksiya f (x) = Sin [x]. Bu matematik funktsiya birinchi qo'shma rasmda ko'rsatiladi, 0 dan 2π gacha chizilgan va qiziqish maydoni turkuaz rangga bo'yalgan. Bu oraliqda manfiy maydon bo'lgani kabi, teng miqdordagi ijobiy maydon ham bor, shuning uchun agar siz umumiy maydonni qo'shsangiz, siz nolni olishingiz kerak. Keling, bu haqiqatan ham sodir bo'ladimi, ko'rib chiqaylik:

F (x) = Sin [x] matematik funktsiyasini dasturga kiritish:

1. Dasturni qayta ishga tushirishdan oldin, "qaytgandan keyin o'z funktsiyangizni yozing" izohi ostida x ** 2 yozilgan: sin (x) yozing. (rasmga qarang).
2. Yashil ijro tugmachasini bosib yana dasturni ishga tushiring.
3. N qiymati uchun 10000 kiriting (necha marta yig'moqchisiz).
4. pastki chegara uchun "0" qo'ying.
5. Yuqori chegara uchun 6.2832 qo'ying (taxminan 2π).
6. Qanday qiymatga ega ekanligingizga qarang.

Men buni qilganimda, men 1.079e-10 qiymatiga ega bo'ldim: bu.0000000001079 ga teng, bu haqiqatan ham nolga yaqin, shuning uchun u aniq ko'rinadi va algoritm salbiy maydonni etarli darajada boshqarishini ko'rsatadi.

10 -qadam: Dasturni ishga tushirish 3 -qism: Dasturni kengaytirish

Bu erda siz tugatdingiz: sizda Python -da kodlangan aniq algoritm mavjud, u muammosiz ishlaydi va juda to'g'ri javob beradi. Biroq, bu dasturni takomillashtirish mumkin. Men dasturchi emasman va Python bilan minimal tajribaga egaman. Aslida, men bu o'quv qo'llanmasini bajarish uchun Python -dan foydalanish haqida o'zimni yangilashim kerak edi, lekin bu sizga Pythonni o'rganish oson bo'lgan til ekanligiga ishonch hosil qilishi kerak. Men shuni aytmoqchimanki, siz ushbu dasturni yanada samaraliroq qilib kengaytira olasiz, balki ba'zi GUIni ishga solasiz va uni foydalanuvchilar uchun qulayroq qilishingiz mumkin.

Dasturni kengaytirish haqidagi fikrlarim:

• Canopy interaktiv ma'lumotlarni tahlil qilish muhitidan foydalanmasdan dasturni ishga tushirishga imkon beruvchi grafikli foydalanuvchi interfeysini amalga oshirish
• Matematik funktsiyani dasturga kiritish shart emas, lekin dastur ishga tushirilgandan keyin kiritilishi uchun shunday qiling (men dastlab buni qilishga urinardim, lekin tushuna olmadim).
• "Integrate" Python funktsiyasini aniqlang, shunda u f (x) funktsiyasini o'z ichiga belgilangan f (x) funktsiyasini oladi.

Bu faqat takomillashtirish sohalariga misollar, lekin men kafolat beramanki, uni ko'paytirish mumkin. Shunday qilib, men bu qadamni dasturning kamchiliklariga misol sifatida qoldiraman va, ehtimol, dasturni yanada takomillashtirishni istaganlar uchun mashq.